Giá trị của tổng 4+44+444+….+44..4 (tổng đó có 2018 số hạng)

Bạn đã bao giờ tự hỏi giá trị của tổng các số sau đây chưa: 4 + 44 + 444 + …. + 44..4 (tổng đó có 2018 số hạng)? Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giá trị của tổng này bằng một phương pháp toán học đặc biệt.

Phương pháp quy nạp toán học

1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Giá trị của tổng 4+44+444+….+44..4 (tổng đó có 2018 số hạng)

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học. Phương pháp này được sử dụng để chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề cho tất cả các số tự nhiên sau khi đã kiểm tra đúng với một số tự nhiên đầu tiên.

1.2 Ví dụ áp dụng

Chúng ta áp dụng phương pháp quy nạp để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 (*)

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1, ta có:

Vế trái = 1 và vế phải = 1

Vậy hệ thức đã đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử hệ thức đã đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 tức là:

1 + 2 + 3 + … + k = k(k + 1)/2 (1)

Ta cần chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 (2)

Thật vậy:

Xem thêm : Phụ kiện AUTO CLOVER: Số 62 có ý nghĩa gì? Những điều thú vị về số 62

Vế trái = 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)

= k(k + 1)/2 + (k + 1) (Theo đẳng thức (1))

= (k + 1)(k/2 + 1)

= (k + 1)(k + 2)/2 = Vế phải

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Chú ý:

Nếu chúng ta cần chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

• Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
• Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Định nghĩa dãy số

Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ* được gọi là một dãy số vô hạn. Trong đó, u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Ví dụ:

• Dãy các số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; … có số hạng đầu u1 = 2, số hạng tổng quát là un = 2n.
• Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5: 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u1 = 5, số hạng tổng quát là un = 5n.

Cách cho một dãy số

Cách 1: Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = n^2. Từ công thức này, chúng ta có thể xác định bất kỳ số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn, u10 = 10^2 = 100. Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n^2,…

Cách 2: Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ: Số 2 là số thập phân vô hạn không tuần hoàn: 2 = 1,414213562… Nếu lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số 2 với sai số tuyệt đối 10^-n thì: u1 = 1,4 ; u2 = 1,41; u3 = 1,414; u4 = 1,4142,…

Cách 3: Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi:

a) Cho số hạng đầu.
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.

Ví dụ: Dãy số (un) được xác định như sau:

u1 = 1;
u2 = 2;
un = 2un−1 + 3un−2 (n ≥ 3)

Biểu diễn hình học của dãy số

Xem thêm : Mức thu lệ phí đăng ký, cấp biển số xe lần đầu từ ngày 22-10-2023

Vì dãy số là một hàm số trên ℕ* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n ; un).

Ví dụ: Dãy số (un) với un = n + 1/n có biểu diễn hình học như sau:

Đặc điểm của các dãy số

Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu mỗi số hạng tiếp theo lớn hơn số hạng trước đó. Ngược lại, nếu mỗi số hạng tiếp theo nhỏ hơn số hạng trước đó, thì dãy số đó được gọi là dãy số giảm.

Ngoài ra, dãy số (un) cũng có thể bị chặn, tức là có một giới hạn trên hoặc giới hạn dưới mà từ số hạng đó trở đi, không có số hạng nào vượt quá giới hạn đó.

Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, còn gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ: Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3.

Số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng được xác định bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Ngoài ra, tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng có thể được tính bằng công thức: Sn = n(u1 + un)/2.

Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ví dụ: Dãy số hữu hạn: 2, 4, 8, 16, 32 là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 2.

Số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân được xác định bởi công thức: un = u1 * q^(n – 1) với n ≥ 2.

Ngoài ra, tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân có thể được tính bằng công thức: Sn = u1 * (1 – q^n)/(1 – q).

Đến đây, chúng ta đã tìm hiểu về giá trị của tổng 4 + 44 + 444 + …. + 44..4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học và những kiến thức liên quan đến dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học này.

Nguồn: https://phukienautoclover.com
Danh mục: biển xe